Lavoro sviluppato da Nome Cognome il XX/05/2026 | Torna alla homepage
La parabola
Parabola con asse coincidente con l'asse y e vertice nell'origine
Determiniamo l'equazione della generica parabola con asse coincidente con l'asse $y$
e vertice nell'origine degli assi.
Il fuoco $F$ è un punto dell'asse $y$ di coordinate $F (0; f)$, con $f \neq 0$.
La direttrice, quindi, è una retta parallela all'asse $x$ e interseca l'asse $y$ in un punto $D$ tale che $\overline{FO} = \overline{OD}$, cioè $D(0; - f)$. L'equazione della direttrice è pertanto: $$y =-f$$
Indichiamo con $P(x; y)$ un punto qualsiasi della parabola, con $H$ il piede della perpendicolare condotta da P alla direttrice e imponiamo la condizione: $$\overline{PF} = \overline{PH}$$
Poiché $\overline{PF} = \sqrt{x^2 + (y -f)^2}$ e $\overline{PH}= |y+f|$, si ha: $$\sqrt{x^2+(y-f)^2}=|y+f|$$
Eleviamo i due membri al quadrato: $$x^2+(y-f)^2 = (y+f)^2 \rightarrow x^2 + y^2 - 2fy + f^2 = y^2 + 2fy + f^2 \rightarrow x^2 = 4fy$$
Ricavando $y$, otteniamo: $y = \displaystyle\frac{1}{4f}x^2$
Posto $a = \displaystyle\frac{1}{4f}$, l'equazione precedente diventa: $$y = ax^2$$ ovvero l'equazione della parabola con vertice nell'origine e asse coincidente con l'asse $y$.
Poiché $f \neq 0$, $a$ risulta definito ed è $a \neq 0$. Da $a = \displaystyle\frac{1}{4f}$ ricaviamo $f=\displaystyle\frac{1}{4a}$ quindi:
- le coordinate del fuoco sono: $\displaystyle F\big(0;\frac{1}{4a}\big)$
- l'equazione della direttrice è: $\displaystyle y = -\frac{1}{4a}$
